유클리드 『원론』

기원전 300년 무렵, 『원론』이라는 책이 쓰였습니다. 지은이는 유클리드라고 전하는데, 그가 어떤 사람이었는지는 거의 알려지지 않았습니다.

그에 대해 남은 가장 오래된 이야기는 팔백 년쯤 뒤 프로클로스가 적은 것입니다. 유클리드는 앞사람들이 느슨하게만 증명한 것을 반박할 수 없게 만든 사람이며 첫 번째 프톨레마이오스 때 사람이라고요. 그런데 그것을 어떻게 알았는지도 같이 적혀 있습니다. 아르키메데스가 유클리드를 언급했으니 그보다는 앞선다는 식으로 따져서 짐작한 것입니다.

확실한 것은 책 자체입니다. 제1권을 펼치면 짜임이 한눈에 보입니다. 정의 스물세 개, 요청 다섯 개, 공리 아홉 개, 그리고 명제 마흔여덟 개입니다. 정의는 아주 당연해 보이는 것부터 시작합니다. 점은 부분이 없는 것이다. 선은 길이는 있고 폭은 없는 것이다. 읽다 보면 이렇게까지 적어야 하나 싶습니다.

그다음이 요청입니다. 증명하지 않고 그냥 받아들이기로 하는 것들입니다. 어느 점에서 어느 점으로든 선을 그을 수 있다. 그 선을 계속 늘일 수 있다. 어떤 중심과 반지름으로도 원을 그릴 수 있다. 모든 직각은 서로 같다.

그런데 다섯 번째가 이상합니다. 앞의 네 개는 한 줄인데 이것만 유독 깁니다. 두 선분에 다른 선분이 걸쳐 한쪽 안쪽 각의 합이 직각 두 개보다 작으면, 그 두 선분을 끝없이 늘였을 때 그쪽에서 만난다는 내용입니다. 다른 것들처럼 당연해 보이지 않아서, 앞의 것들로 증명해 낼 수 있지 않을까 하고 오래 매달린 사람이 많았습니다.

1733년에 사케리라는 사람이 그 시도를 책 한 권으로 냈습니다. 제목이 「모든 흠에서 벗어난 유클리드」였습니다. 그는 다섯째 요청을 증명해 내지 못했습니다. 그런데 그 실패가 헛되지 않았습니다. 다섯째 요청이 없는 기하학도 세울 수 있다는 생각이 그 길에서 나왔기 때문입니다.

이 책이 인쇄된 이야기도 남아 있습니다. 1482년 베네치아에서 나온 것이 첫 인쇄본인데, 그때까지 베네치아에서 책이 날마다 찍혀 나오면서도 수학책은 거의 없었습니다. 인쇄공은 그 까닭을 그림 때문이라고 적었습니다. 그때까지 아무도 도형을 찍어 내지 못했다는 것입니다. 그는 오랜 애를 쓴 끝에 글자만큼 쉽게 도형을 찍는 방법을 찾아냈다고 했습니다. 그런데 그때 찍은 것은 그리스어 원문이 아니었습니다. 캄파누스가 옮긴 라틴어본이었고, 이 번역과 그보다 백여 년 앞선 다른 라틴어 번역은 둘 다 아랍어본에서 온 것입니다. 그 안에 아랍어 낱말이 남아 있어 그렇게 볼 수 있다고 합니다. 유럽이 인쇄해 읽기 시작한 유클리드는 아랍어를 거쳐 돌아온 책이었습니다.

『원론』 제1권이 어떻게 짜였는지는 세어 볼 수 있습니다. 정의가 스물셋, 요청이 다섯, 공리가 아홉, 그리고 명제가 마흔여덟입니다. 앞의 셋을 먼저 깔고 그 위에 명제를 쌓는 구조입니다.

시작은 정의입니다. 첫 번째 정의는 이렇습니다. 점은 부분이 없는 것이다. 두 번째는 이렇습니다. 선은 길이이며 폭은 없다.

공리는 따지지 않고 받아들이기로 한 것들입니다. 여덟 번째가 그 성격을 잘 보여 줍니다. 전체는 부분보다 크다.

이렇게 깔아 둔 것이 실제로 쓰이는지는 첫 번째 명제에서 바로 확인됩니다. 그 증명이 앞에서 정해 둔 첫 번째 공리를 불러다 씁니다. 앞의 것을 쓰지 않고는 뒤로 갈 수 없게 만들어 둔 것입니다.

그런데 이 책을 쓴 사람에 대해서는 남은 것이 거의 없습니다. 우리가 아는 연대가 어떻게 나온 것인지 따라가 보면 그 사정이 드러납니다.

가장 많이 인용되는 것은 프로클로스가 남긴 짧은 요약입니다. 이들보다 그리 젊지 않은 이가 원론을 엮은 유클리드다. 그는 에우독소스의 정리를 여럿 모으고 테아이테토스의 것을 여럿 다듬었으며, 앞사람들이 느슨하게만 증명해 둔 것들을 반박할 수 없는 증명으로 이끌었다. 이 사람은 첫 프톨레마이오스 시대에 살았다.

같은 대목에 유명한 일화도 붙어 있습니다. 프톨레마이오스가 언젠가 그에게 기하학에 원론보다 짧은 길이 없느냐고 묻자, 그는 기하학에 왕도는 없다고 답했다고 한다.

그리고 프로클로스는 이렇게 자리를 잡습니다. 그러므로 그는 플라톤의 제자들보다는 젊고 에라토스테네스와 아르키메데스보다는 나이가 많다.

이 대목을 옮긴 히스는 주의를 하나 답니다. 이 구절은 프로클로스조차 유클리드의 출생지나 생몰 연대를 직접 알지 못했음을 보여 준다. 그는 추론으로 나아간다. 플라톤이 기원전 347년에 죽었고 아르키메데스가 기원전 287~212년, 에라토스테네스가 276~194년을 살았으니 그 사이 어디쯤이라는 계산입니다.

왕도 이야기에도 짝이 있습니다. 히스는 같은 이야기가 알렉산드로스와 메나이크모스 사이의 일로도 전한다고 적어 두었습니다. 같은 말이 두 사람에게 붙어 전해진다면, 그것은 실제로 있었던 대화라기보다 옮겨 다니는 이야기일 수 있습니다.